[ZJOI2007]矩阵游戏（二分图匹配）

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ZJOI2007 矩阵游戏

题目

Description

小Q是一个非常聪明的孩子，除了国际象棋，他还很喜欢玩一个电脑益智游戏——矩阵游戏。矩阵游戏在一个N*N黑白方阵进行（如同国际象棋一般，只是颜色是随意的）。每次可以对该矩阵进行两种操作：行交换操作：选择矩阵的任意两行，交换这两行（即交换对应格子的颜色）列交换操作：选择矩阵的任意行列，交换这两列（即交换对应格子的颜色）游戏的目标，即通过若干次操作，使得方阵的主对角线(左上角到右下角的连线)上的格子均为黑色。对于某些关卡，小Q百思不得其解，以致他开始怀疑这些关卡是不是根本就是无解的！！于是小Q决定写一个程序来判断这些关卡是否有解。

Input

第一行包含一个整数T，表示数据的组数。接下来包含T组数据，每组数据第一行为一个整数N，表示方阵的大小；接下来N行为一个N*N的01矩阵（0表示白色，1表示黑色）。

Output

输出文件应包含T行。对于每一组数据，如果该关卡有解，输出一行Yes；否则输出一行No。

Sample Input

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2
2
0 0
0 1
3
0 0 1
0 1 0
1 0 0

Sample Output

1
2
No
Yes

Hint

对于100%的数据，N ≤ 200

解题思路

对每一个黑格子都在其横坐标与纵坐标之间连一条边，可得到一个二分图。而题目相当于要求交换后可以得到 $1\rightarrow 1,2\rightarrow 2,\cdots,n\rightarrow n$ 这样一种匹配方法。容易发现，只要这个二分图存在一种匹配方法使所有点都被匹配上，那么我们一定可以通过交换得到 $1\rightarrow 1,2\rightarrow 2,\cdots,n\rightarrow n$ 的匹配。所以我们只需要判断该二分图最大匹配是否为 $N$ 即可。
用网络流实现，则当且仅当最大流等于 $N$ 时有解。

以下代码为 dinic 实现最大流。

Code

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# include<algorithm>
# include<cstring>
# include<cstdio>
# include<queue>

using namespace std;

const int INF = 1e9;
const int N = 405;

int C, S, T, n, a;

struct Edge{
	int nxt, from, to, cap;
}edge[N*N*2];
int head[N], edgeNum = 1;
void addEdge(int from, int to, int cap){
	edge[++edgeNum] = (Edge){head[from], from, to, cap};
	head[from] = edgeNum;
}

int lay[N];
bool bfs(){
	memset(lay, 0, sizeof lay);
	queue<int> q;
	q.push(S);
	lay[S] = 1;
	while(!q.empty()){
		int cur = q.front(); q.pop();
		for(int i = head[cur]; i; i = edge[i].nxt){
			if(edge[i].cap <= 0)	continue;
			if(!lay[edge[i].to]){
				lay[edge[i].to] = lay[cur] + 1;
				q.push(edge[i].to);
			}
		}
	}
	return lay[T];
}
int dfs(int x, int minCap){
	if(x == T)	return minCap;
	for(int i = head[x]; i; i = edge[i].nxt){
		if(edge[i].cap <= 0 || lay[edge[i].to] != lay[x] + 1)	continue;
		int t = dfs(edge[i].to, min(minCap, edge[i].cap));
		if(t){
			edge[i].cap -= t;
			edge[i^1].cap += t;
			return t;
		}
	}
	return 0;
}
int dinic(){
	int maxFlow = 0;
	while(bfs())
		if(int flow = dfs(S, INF))
			maxFlow += flow;
	return maxFlow;
}

void init(){
	memset(head, 0, sizeof head);
	edgeNum = 1;
}

int main(){
	scanf("%d", &C);
	while(C--){
		init();
		scanf("%d", &n);
		S = n + n + 1, T = n + n + 2;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			for(int j = 1; j <= n; j++){
				scanf("%d", &a);
				if(a){
					addEdge(i, j+n, 1);
					addEdge(j+n, i, 0);
				}
			}
			addEdge(S, i, 1);
			addEdge(i, S, 0);
			addEdge(i+n, T, 1);
			addEdge(T, i+n, 0);
		}
		puts(dinic() == n ? "Yes" : "No");
	}
	return 0;
}