[ZJOI2006]书架（平衡树）

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ZJOI2006书架

题目

描述

小T有一个很大的书柜。这个书柜的构造有些独特，即书柜里的书是从上至下堆放成一列。她用$1$到$n$的正整数给每本书都编了号。
小T在看书的时候，每次取出一本书，看完后放回书柜然后再拿下一本。由于这些书太有吸引力了，所以她看完后常常会忘记原来是放在书柜的什么位置。不过小T的记忆力是非常好的，所以每次放书的时候至少能够将那本书放在拿出来时的位置附近，比如说她拿的时候这本书上面有$X$本书，那么放回去时这本书上面就只可能有$X-1$、$X$或$X+1$本书。
当然也有特殊情况，比如在看书的时候突然电话响了或者有朋友来访。这时候粗心的小T会随手把书放在书柜里所有书的最上面或者最下面，然后转身离开。
久而久之，小T的书柜里的书的顺序就会越来越乱，找到特定的编号的书就变得越来越困难。于是她想请你帮她编写一个图书管理程序，处理她看书时的一些操作，以及回答她的两个提问：(1)编号为$X$的书在书柜的什么位置；(2)从上到下第$i$本书的编号是多少。

输入

第一行有两个数$n,m$，分别表示书的个数以及命令的条数；第二行为$n$个正整数：第$i$个数表示初始时从上至下第$i$个位置放置的书的编号；第三行到$m+2$行，每行一条命令。命令有5种形式：
1．Top S——表示把编号为$S$的书放在最上面。
2． Bottom S——表示把编号为$S$的书放在最下面。
3． Insert S T——$T∈{-1,0,1}$，若编号为$S$的书上面有$X$本书，则这条命令表示把这本书放回去后它的上面有$X+T$本书；
4． Ask S——询问编号为$S$的书的上面目前有多少本书。
5． Query S——询问从上面数起的第$S$本书的编号。

输出

对于每一条Ask或Query语句你应该输出一行，一个数，代表询问的答案。

输入样例

1
2
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6
7
8
9
10
11
12
10 10
1 3 2 7 5 8 10 4 9 6
Query 3
Top 5
Ask 6
Bottom 3
Ask 3
Top 6
Insert 4 -1
Query 5
Query 2
Ask 2

输出样例

1
2
3
4
5
6
2
9
9
7
5
3

说明

100%的数据，$n,m <= 80000$

解题思路

用平衡树可以完成这些操作：

  • Top S：将该元素旋转至根，然后将其左子树连到它的后继上
  • Bottom S：将该元素旋转至根，然后将其右子树连到它的前驱上
  • Insert S T：将该元素与其前驱或后继交换信息
  • Ask S：将该元素旋转至根，返回其左子树大小
  • Query S：在树上直接找即可

时间复杂度：$O(M\log_2N)$

Code

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# include<cstdio>
# include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 80005;
int n, m, q, qt, a[N], pos[N];
char opt[10];

struct BST{
# define lson tr[x].son[0]
# define rson tr[x].son[1]
	struct Splay{
		int fa, son[2];
		int size, id;
	}tr[N];
	int root = 0, cnt = 0;
	inline int newNode(){
		cnt++;
		tr[cnt].fa = tr[cnt].son[0] = tr[cnt].son[1] = 0;
		tr[cnt].size = 1, tr[cnt].id = 0;
		return cnt;
	}
	inline void pushup(int x){
		tr[x].size = tr[lson].size + tr[rson].size + 1;
	}
	inline int build(int l, int r, int f){
		if(l > r)	return 0;
		int mid = (l + r) >> 1;
		int x = newNode();
		tr[x].id = a[mid];
		pos[a[mid]] = x;
		tr[x].fa = f;
		tr[x].son[0] = build(l, mid-1, x);
		tr[x].son[1] = build(mid+1, r, x);
		pushup(x);
		return x;
	}
	inline void rotate(int x, int kind){
		int y = tr[x].fa, z = tr[y].fa, B = tr[x].son[kind];
		tr[x].son[kind] = y, tr[y].son[!kind] = B, tr[z].son[tr[z].son[1] == y] = x;
		tr[x].fa = z, tr[y].fa = x, tr[B].fa = y;
		pushup(y), pushup(x);
	}
	inline void splay(int x, int goal){
		if(x == goal)	return;
		while(tr[x].fa != goal){
			int y = tr[x].fa, z = tr[y].fa;
			int dir1 = !(tr[y].son[1] == x), dir2 = !(tr[z].son[1] == y);
			if(z == goal)	rotate(x, dir1);
			else{
				if(dir1 == dir2)	rotate(y, dir2);
				else	rotate(x, dir1);
				rotate(x, dir2);
			}
		}
		if(goal == 0)	root = x;
	}
	inline int find(int k){
		int now = root;
		while(k){
			if(k <= tr[tr[now].son[0]].size)
				now = tr[now].son[0];
			else if(k == tr[tr[now].son[0]].size + 1)
				return now;
			else{
				k -= tr[tr[now].son[0]].size + 1;
				now = tr[now].son[1];
			}
		}
		return now;
	}
	inline void top(int x){
		x = pos[x];
		splay(x, 0);
		if(!tr[x].son[0])	return;
		if(!tr[x].son[1])	tr[x].son[1] = tr[x].son[0], tr[x].son[0] = 0;
		else{
			int p = find(tr[tr[x].son[0]].size + 2);
			tr[p].son[0] = tr[x].son[0], tr[tr[x].son[0]].fa = p;
			tr[x].son[0] = 0;
			splay(tr[p].son[0], 0);
		}
	}
	inline void bot(int x){
		x = pos[x];
		splay(x, 0);
		if(!tr[x].son[1])	return;
		if(!tr[x].son[0])	tr[x].son[0] = tr[x].son[1], tr[x].son[1] = 0;
		else{
			int p = find(tr[tr[x].son[0]].size);
			tr[p].son[1] = tr[x].son[1], tr[tr[x].son[1]].fa = p;
			tr[x].son[1] = 0;
			splay(tr[p].son[1], 0);
		}
	}
	inline void insert(int x, int t){
		if(!t)	return;
		x = pos[x];
		splay(x, 0);
		int p = find(t == -1 ? tr[tr[root].son[0]].size : tr[tr[root].son[0]].size + 2);
		swap(tr[root].id, tr[p].id);
		swap(pos[tr[root].id], pos[tr[p].id]);
	}
	inline int ask(int x){
		x = pos[x];
		splay(x, 0);
		return tr[tr[x].son[0]].size;
	}
	inline int query(int k){
		return tr[find(k)].id;
	}
	inline void print(int x){
		if(tr[x].son[0])	print(tr[x].son[0]);
		printf("%d ", tr[x].id);
		if(tr[x].son[1])	print(tr[x].son[1]);
	}
}T;

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	T.root = T.build(1, n, 0);
	while(m--){
		scanf("%s%d", opt, &q);
		switch(opt[0]){
			case 'T': T.top(q); break;
			case 'B': T.bot(q); break;
			case 'I': scanf("%d", &qt); T.insert(q, qt); break;
			case 'A': printf("%d\n", T.ask(q)); break;
			case 'Q': printf("%d\n", T.query(q)); break;
			default: break;
		}
	}
	return 0;
}